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浅析微分在近似计算中的优势应用

作者:霍龙龙

  摘  要:近似计算是在解决问题过程中常用的一种方法,其在数学问题解决中起到着巨大的作用,是一个非常有效的解题工具。在数学分析环节,此类形式应用较多,比如:在函数幂级数的运用、定积分中的运用以及微分中的运用等。微分是高等数学的关键构成内容,函数微分在数学中同样有着广泛的运用。该文就微分在近似计算中的优势应用进行简单的研究。

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  关键词:微分  近似计算  应用
  中图分类号:G64                                    文献标识码:A                         文章编号:1672-3791(2019)03(c)-0224-02
  微分是高数的重要知识点之一,近似计算是在解决问题过程中常用的一种方法。微分在近似计算中的运用有着大量优势。因此对微分在近似计算中的运用进行分析具有极为重要的实践价值。
  1  微分简介
  定义  如果在某个区间内存在定义,及包含在此区间内,则函数的增量为:
  即:

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  定义  如果在某个区间内存在定义,及包含在此区间内,则函数的增量为:
  即:
  其间,A并非是的常数,但比高阶的无穷小,则在点处是可微的;A便是在点处对应自变量增量的微分,为dy,可表示为:。
  2  微分在近似计算中的应用

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  2.1 数列的极限近似计算
  在{an}收敛时,则{an}是有极限的,一些数列的极限人们是能够轻易求解出的,但是由一些数列的极限即使存在然而卻无法求解其定值,则此时便需进行近似计算。
  假设 a是一个定数,{an}为数列;对于一切正数ε,均有正整数N,使时n>N存在:
  那么便可判定数列{an}收敛于a,则a是的极限{an},记为:
  或
  例1  证明。
  因为:
  ,,,(n≥3)
  所以ε>0,对于任意的,仅需,则有:
  也就是,在的时候,,便可成立,因为(n≥3),所以取:
  证明:对于任意ε>0,可取。根据分析可知,在n>N时,,便可成立。
  2.2 函数增量的近似计算
  若在点处可微,那么便可得函数的增量为:
  在||无限小的时候,便有:
  例  半径为10cm的金属原片在经过加热以后半径增加了0.05cm,问面积增加了多少?
  解:假设 A=πr2,r=10cm,△r=0.05cm,那么:
  (cm2)
  2.3 误差估计
  在具体生产过程中,往往需要对各式各样的数据进行测量,然而部分数据是无法直接性进行测量的,此时便需测量与之相关的数据,按照具体公式推演出自己所需的数据。因为测量条件、设备以及方法等所造成的影响,取得的数据通常具备一定的误差,而运用不精准的数据进行计算同样会造成误差。
  (1)绝对误差:若某个量的精准数值是A,其近似值是a,则δ=|A-a|便是a的绝对误差。
  (2)相对误差:绝对误差δ和|a|之间的比值被称之为的a相对误差。
  (3)绝对误差限:如果|A-a|≤δA,那么便是A的绝对误差限。
  (4)相对误差限:是A的相对误差限。
  在正常状况下,按照直接性测量的值,根据公式计算y值的时候,若已经知晓测量的绝对误差限为,也就是||≤,那么在y′≠0的时候,y的绝对误差为:
  也就是:y的绝对误差限近似是,y的相对误差限近似是。
  后来,人们往往将相对误差限与绝对误差限简称为相对误差与绝对误差。
  例如:若想求解圆的面积S,仅需测量其直径d,接着根据公式便能够求出面积S。因为直径d存在绝对误差△d,因此面积S同样存在绝对误差在近似计算中,当△d无限小的时候,(=dy)。因此能够运用计算出面积S的绝对误差,对存在,因此:
  (绝对误差);(相对误差)
  如果已经知晓,那么便能够求解出相对误差限与绝对误差限的分布依次是:
  如果是通过测量获得的,量y是根据计算获得的,在测量过程中,的近似值是,。如果已经知道的误差限是,也就是,在无限小时:有
  例:如果想要给半径为r的球外表涂上油漆,油漆厚度是△r,问:该层油漆的近似体积是多少?
  解:
  例:某圆钢截面的直径D=60.03mm,测量D的绝对误差限为δD运用公式对截面积进行计算,问:面积的计算误差是多少?
  解:A的绝对误差限近似是:
  A的相对误差限近似是:
  3  结语
  该文主要研究微分的定义,以及微分在数列的极限近似计算、函数增量的近似计算、误差估计的运用,未来我们更加需要研究微分在其他方面的运用。
  参考文献
  [1] 郑晓珍.高职高专模具设计与制造专业《高等数学》课程之“微分在近似计算中的应用”的教学设计[J].科技信息,2013(8):274-275.
  [2] 缪烨红.高职数学中微分的教学探究[J].赤峰学院学报:自然科学版,2013(22):11-12.
  [3] 郑一.对数微分及其在近似计算中的应用优势[J].青岛建筑工程学院学报,2003(1):63-67.

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