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矩阵在各种变换下的不变量及其运用分析

作者:黄瑞芳

  摘  要:目前,矩阵较为常见的变换主要有初等变换、合同变换与相似变换,各种变换均具备自身所独有的特点,伴随矩阵变化的不断发展,其在各行各业中有着较为广泛的运用。在矩阵最初的变换中,不仅存在着矩阵有关内容的转变,同时还有着由各个领域中所提炼出的和矩阵相关的概念。该文就矩阵在各种变换下的不变量及其运用进行深入的分析。

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  关键词:矩阵  不变量  运用
  中图分类号:G64                                    文献标识码:A                          文章编号:1672-3791(2019)03(c)-0211-02
  1  矩阵初等变换
  1.1 定义
  以下从3个不同的方面分析初等变换的定义:
  (1)两行互换(记作:ri←→rj);

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  以下从3个不同的方面分析初等变换的定义:
  (1)两行互换(记作:ri←→rj);
  (2)将k(k≠0)与某行相乘(记作:ri×k);
  (3)将某行的k倍与另一行相加(记作:ri+krj)。

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  1.2 应用
  求矩阵的秩。
  常见格式:将m×n矩阵经过一系列的初等變化以产生阶梯形矩阵行阶梯型矩阵B,其中,B中非零行数,即A的秩,记为r(A)。
  例1:求解矩阵的秩。
  解:由
  可得:A当中包含了2个非零行,因此,r(A)=2。
  2  矩阵合同变换
  2.1 定义
  以下从3个不同的方面分析合同变换的定义:
  (1)两行相互交换(记作:ri←→rj),并且两列相互交换(记作:ci←→cj);
  (2)将(k≠0)与某行相乘(记作:ri×k),并且将(k≠0)与某列相乘(记作:ci×k);
  (3)将某行的k倍与另一行相加(记ri×krj),并且将某列的k倍与另一列相加(记作:ci×kcj)。
  2.2 合同变换的性质
  引理1 若实对称矩阵A和B的正负惯性指标一致,则Sc(A1B)为群。
  证明:针对全部的P1∈Sc(A,B),P2∈Sc(A,B),都有C1∈S0(A,B),C2∈S0(A,B),使P1=c-1c1,P2=c-1c2。
  可得:
  假设P∈Sc(A,B),存在C1∈S0(A,B),使得P=c-1c1;
  P-1=c-1c=c-1(cc1-1c),因(cc1-1)1A(cc1-1c)=c1(c1-1)c1A(cc1-1c=c1(c1-1)Bc1-1c=c1Ac=B,
  则cc1-1c∈S0(A,B),所以c1-1c∈Sc(A,B),即P-1∈Sc(A,B),
  综上,Sc(A,B)成群。
  引理2 若实对称矩阵A和B的正负惯性指标一致,则Sc(A,B)可记作:
  证明:
  。
  3  矩阵相似变换
  以下几种情况可以视作矩阵的相似变换:
  (1)对调A的i、j两行得到A1,再对调A1的i、j两列得到A2。
  (2)以a(a≠0)与A的第i行相乘得到A1,再用与A1的第i列相乘得到A2。
  (3)以a(a≠0)乘以A的第i行加到A的第j行的对应元素上得到A1,再-a(a≠0)用乘以A1的第j列加到A1第i列的对应元素上得到A2。
  在实数区间内,全部的n阶对称矩阵均A能够由相似变
  换而形成规范形,即存在Q,使,其
  间λ1,λ2,...,λn是A的所有特征值。
  参考文献
  [1] 张宏,赵丽莹,荀海鑫,等.矩阵、向量、集合中数学符号的规范使用[J].编辑学报,2011(5):418-419.
  [2] 周俊超.线性代数中矩阵的秩的运用及教学策略分析[J].课程教育研究,2016(2):258.
  [3] 任英华,游万海.一种新的空间权重矩阵选择方法[J].统计研究,2012(6):99-105.

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