问题教学法在导数教学中的应用策略

2022-03-21版权声明我要投稿

  摘要:文章对问题教学法在高中数学导数应用方面的教学策略进行分析。通过本次的分析,可以为高中导数应用教学效果的提升和高中生数学这一学科的良好学习与发展提供相应参考。

  关键词:高中数学;导数应用;问题教学法;

  在通过问题教学法进行高中数学导数应用教学的过程中,其主要的目标有三个:第一是知识方面:其主要目标是帮助学生充分理解导数的概念,并对其计算方法加以充分掌握。第二是能力方面:其主要目标是让学生可以对实际生活中与导数应用相关的实例进行科学分析,以此来实现其抽象概括能力的良好培养,并通过导数计算公式来进行相关习题的推导与解答,以此来促进学生逻辑思维能力和推理能力的有效提升。第三是情感方面:其主要目标是通过相应问题的解决来培养学生的极限思想和例证法应用,以此来实现高中生数学素养的显著提升,使其能够利用所学的导数知识来解决实际生活中的相关问题,充分激发学生的学习兴趣,让高中生在数学这一学科的学习与研究中得到良好发展。

  为实现以上的这些目标,在高中数学的具体教学过程中,教师应通过合理的问题教学法来进行教学。尤其是在导数这一部分知识的教学过程中,教师更应该对此方法加以科学应用,帮助学生通过问题解决与探究的形式来掌握导数的相关知识,并使其对导数知识加以灵活运用。

二、 问题教学法在高中数学导数教学中的具体应用

  (一)通过情景创设的方法提出问题

  在通过问题教学法进行高中数学导数这一部分知识的教学过程中,良好的教学情境创设是引导学生进入学习氛围的关键。在此过程中,教师可以通过与学生日常生活息息相关的情境创设来吸引学生的注意,并激发其学习兴趣,使其主动参与到导数知识的学习中,并通过积极探索来找出问题的答案。

  比如,在“导数在研究函数单调性问题”这一部分内容的教学中,教师可以通过这样一道关乎学生日常生活的习题来提出问题:某市的气象站对该市冬季里某一天内的气温变化进行了记录,根据气象统计数据发现,在当天的2点钟到5点钟之间,气温f(x)和时间x之间的关系可以近似拟合为函数f(x)=lnxx' role=presentation>f(x)=lnxxundefined,请同学们试着判断这一段时间内的气温f(x)伴随着时间x发展所呈现出的变化趋势。

  在此过程中,教师首先应该让学生明确这道题的主要目的是什么。此时,学生便可根据所学知识与问题中的已知条件总结出,这个问题主要是为了对f(x)=lnxx' role=presentation>f(x)=lnxxundefined,且x∈[2,5]进行单调性的研究。针对这一结果,教师可通过提问的形式继续引导学生:以往我们一般采用怎样的方法来进行函数单调性判断的呢?学生会回答定义法、图像法。此时,教师可以让学生尝试一下能否用定义法或者是图像法来判断出f(x)=lnxx' role=presentation>f(x)=lnxxundefined且x∈[2,5]这一函数的单调性。通过一系列的分析和尝试之后,学生们便会发现,通过定义法很难对f(x1)-f(x2)进行符号的确定;而通过图像法则会产生很大的误差。基于此,教师可进一步提出问题:如果不通过定义和图像法,我们应该如何判断f(x)=lnxx' role=presentation>f(x)=lnxxundefined且x∈[2,5]这一函数的单调性呢?

  这样的问题教学方式不仅可以将学生的注意力成功引入到问题情境中,同时也可以通过强烈的认知冲突来激发学生对新知识的探索欲望。这对高中数学导数教学效率与质量的提升都将十分有利,同时也可以为学生营造出一个更加浓郁的学习氛围,以此来帮助学生更好地了解导数知识,并使其在实际问题中得以灵活应用。

  (二)通过合作实验的方式进行问题探究

  在应用问题教学法进行高中数学的导数教学过程中,教师可采用小组合作实验的方式来进行相关问题的探究。这样不仅可以让每一名学生都能够参与到问题的讨论、实验和探究中,发挥出每一名学生的思维能力,达到良好的取长补短效果;同时也可以对学生的合作能力、表达能力等进行良好培养,以此来提升高中生的数学综合能力。

  比如,在“导数在研究函数单调性问题”这一部分内容的教学过程中,教师便可让学生们思考一下函数单调性的定义,看看能否在传统函数定义上有什么新的发现,然后在通过小组交流的方式进行研究。此时,针对增函数,会有小组研究出:“在A这个区间中有任意两个值x1,x2,在x1

  f(x1)-f(x2)x1-x2>0' role=presentation>f(x1)−f(x2)x1−x2>0undefined

  由此可知其斜率是正数,准确来讲,就是在A这个区间上,任取两个点连出的割线斜率都是正数,由此可判断,获得到的函数为增函数。同时,从数这一方面也可以获得到f(x1)-f(x2)x1-x2' role=presentation>f(x1)−f(x2)x1−x2undefined这一函数的平均变化率,就是在A这一区间上,任取两个点的平均变化率,也都可以获得一个增函数。

  此时,教师可进一步提出问题:能否进一步找出割线斜率是正数的充分条件?这样便可引导学生们联想到函数瞬时变化率,而在函数的某一点,其瞬时变化率也就是这个函数的导数。接下来便可引导学生对导数进行深入研究。通过研究可发现,割线斜率所反映的是函数曲线所具有的平均变化趋势,而在其中的一个点和另一个点无限逼近的情况下,割线也就在这一点的位置形成了切线,这个切线斜率所反映出的便是函数曲线所具有的瞬时变化趋势。针对这样的分析,教师首先应予以肯定,表扬学生们这样的分析方法非常好,如果函数y=f(x)在一个点可导,那么就意味着在这一点上,函数y=f(x)可以近似地看做是一次函数,也就是其函数曲线在这一点位置上以及这一点的附近都可以近似地看做是一条切线,这也就是我们所说的“以直代曲”。根据这一规律,教师可提出这样的问题:如果在这一点位置的切线斜率是正数或者是负数,那么在其函数图像上我们可以看出怎样的趋势?此时,会有小组立即回答出这一点位置的函数会呈现出上升或者是下降的趋势。

  接下来,教师可引导学生进一步分析:如果在A区间上,一个函数每一个点都有着相同的变化趋势,那么整个A区间段中,这个函数又将会有着怎样的变化趋势呢?通过变化趋势分析又可以获得怎样的发现?根据这个问题,学生们在通过小组讨论和研究之后可以发现,在A区间内,如果函数在每一点位置都呈现出上升趋势,则该函数在这一区间会呈现出整体上升的趋势,也就是单调递增;如果函数在每一点位置都呈现出下降趋势,则该函数在这一区间会呈现出整体下降的趋势,也就是单调递减。由此可得出,对于一个函数而言,A区间的切线斜率会对其图像的具体变化趋势产生决定性作用,如果其切线斜率为正数,则函数在该区间内单调递增;如果其切线斜率为负数,则函数在该区间内单调递减。

  以上的猜想与研究主要是从形的角度出发,为进一步证实这一猜想的正确性,教师可以引导学生们再从数的角度出发,对以下的猜想进行研究:对于y=f(x)这个函数,在某一区间上如果有f′(x)>0,则在这一区间上,f(x)就是增函数;而在某一区间上如果有f′(x)<0,则在这一区间上,f(x)就是减函数。

  通过这样的方式,便可以让学生将导数这一部分内容与以往所学的知识之间做到良好联系,并从不同的角度对其进行观察与分析,以自主探究、合作探究的方式来找出问题的答案。这样不仅可以让学生在问题的探究与解答中充分开发出自己的思维能力与探索能力,同时也可以对学生的合作意识加以良好培养,让学生在互相合作的基础上找出问题的答案,发现相应的结论,以此来实现学生逻辑思维能力和数学综合素质的良好养成。

  (三)通过自主构建的方式进行新知感悟

  在高中数学的导数教学过程中,因为知识结构与内容都比较复杂,很多的概念也比较抽象难懂。所以教师应通过问题教学法来鼓励和启发学生以自主构建的方式进行新知感悟,采用数和形的验证方法来进行问题的大胆猜想与分析,这样既可以帮助学生充分掌握导数这一部分知识的应用技巧,同时也可以使其在不断的问题分析与解答中实现自信心的增强。

  比如,在“导数在研究函数单调性问题”这一部分的教学中,依然针对A区间内y=f(x)这一问题进行研究。此时教师可提出以下问题:在A区间内,如果有f′(x)>0,且x1和x2是两个确定值,也就是点P的坐标是(x1,y1),点Q的坐标是(x2,y2),如下图所示。若P、Q两点确定的情况下,试判断PQ这一割线的斜率f(x1)-f(x2)x1-x2>0' role=presentation>f(x1)−f(x2)x1−x2>0undefined是否成立。

  此时,学生们可通过图像直观地看出,这个猜想是成立的。在获得到这个肯定答案之后,教师可进一步引导学生对这个猜想予以验证。具体验证中,学生可通过将PQ这一割线平移的形式来进行自主构建。如下图所示,将PQ割线平移,使其和二次函数的曲线相切,切点是S。

  由此便可得出:

  kΡQ=f(x1)-f(x2)x1-x2=f′(xs)' role=presentation>kPQ=f(x1)−f(x2)x1−x2=f′(xs)undefined

  而在A这一区间内,y=f(x)这一函数中,则有 f′(x)>0,且x∈A,由此便可证明出,f′(xs)>0成立。

  在这一猜想得到证实之后,教师可进一步提出以下问题:如果P和Q是这一区间段中的任意两点,f′(x)>0是否能始终成立?此时,学生便可立即回答出,因为上一问已经得出f′(x)>0在A这一区间段内成立,且P和Q是A这一区间中的任意两点,所以f′(xs)=f(x1)-f(x2)x1-x2>0' role=presentation>f′(xs)=f(x1)−f(x2)x1−x2>0undefined这一条件也将始终成立。如图2所示,因为S会随着P点和Q点的移动而发生变化,其位置不确定,但是在这一区间内,S将始终存在,这也就意味着只要是在A区间内,无论P点和Q点取何值,f′(x)>0这一猜想便始终成立。

  通过这样的问题式教学方法,不仅可以让学生能够跟着老师的问题来不断调整自己的解题思路,以此来达到良好的问题导向作用,同时也可以对学生的思维能力、探究能力和自主学习能力等加以显著提升。由此可见,此种教学方法的应用将会在高中数学导数教学中发挥出充分的作用与优势,以此来提升高中生导数知识的学习效果,促进其学习成绩的提高和学习能力的培养。这对高中生在数学这一学科中的良好学习与发展都将有着十分深远的影响意义。

  (四)通过具体应用来进行新知巩固

  在采用问题教学法进行高中导数知识的教学过程中,教师可通过导数知识在相应问题中的应用来进行新知巩固,以此来深化学生对这一部分知识的理解,帮助学生对所学的导数知识加以灵活运用。这样才可以有效提升学生对导数知识的应用能力,使其在导数应用中做到得心应手。

  比如,在“导数在研究函数单调性问题”的教学过程中,教师可以通过以下几道习题来考查学生对导数知识的具体应用情况,以此来达到良好的新知巩固效果:

  问题一:对于函数f(x)=2x3-6x2+7,请同学们试着判断该函数在哪些区间上属于增函数。

  问题二:有这样一个函数:f(x)=sinx,其中,x的值在0~2π之间,请同学们试着判断该函数的单调递减区间。

  问题三:关于函数f(x)=lnxx' role=presentation>f(x)=lnxxundefined,其中,x的值在2~5之间,请同学们试着判断出该函数的单调性。

  通过这几个问题的设置,可以让学生对导数在研究函数单调性问题中的应用研究做到进一步的深化,并使其明确导数的应用意义所在。对于问题一和问题二,学生在解答过程中会发现,如果不容易通过定义的方式来判断函数单调性,则可以借助于导数的方式来进行判断;对于问题三,学生在解答过程中会发现,对于无法通过定义进行判断的函数单调性问题,也可以借助于导数来加以判断。这样不仅可以帮助学生对所学知识进行全面巩固,也可以使其充分感受到导数在数学中的应用价值,并通过层层深入的问题探究方式来培养学生的解题技巧,让导数应用教学效率与质量得以显著提升。

三、 结束语

  综上所述,导数是高中数学教学中的一个重点和难点部分。良好的导数应用教学不仅可以让学生充分掌握导数的相关知识及其应用方法,同时也可以有效提升学生的数学学习能力,使其在后续的高考或者是数学这一学科的研究中具备更强的能力。而在对导数这一部分知识进行教学的过程中,问题教学法是目前最为有效的一种教学方法,通过各种问题的设置、解答、研究和总结等,可以帮助学生理清导数知识的相关概念,明确导数知识的应用优势,并培养学生合理运用导数知识解决数学问题的方法。基于此,在具体的导数教学过程中,教师一定要加强问题教学法的研究,并根据实际的教学目标与情况对该方法加以合理应用。这样才可以有效提升导数这一部分知识的教学效果,让学生能够对导数知识加以合理应用,以此来有效促进高中生数学这一学科的良好学习与发展。

参考文献

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作者:奚剑峰 单位:江苏省如东高级中学

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