运用方法分析中学数学作图解题技巧

2022-03-21版权声明我要投稿

  摘要:在中学数学中数与形是基础的概念,实现数形结合可以帮助学生解决数学问题。因中学生的形象思维还需不断提高,所以需要通过作图的方式帮助学生掌握基本的解题技巧与思路。除此之外,中学数学知识具有抽象性,部分概念晦涩难懂,学生难以做到举一反三,学以致用,通过作图的方式能够化抽象为具象,以此更好地解决数学问题。故此,文章从不同的角度出发,针对性地探究了中学数学作图解题技巧的方法,旨在提高中学数学教学质量。

  关键词:中学数学;作图解题;技巧;运用;

  在中学数学教学中图形是极其重要的组成部分,不仅可以形象的反映数学问题,而且也能明晰数学条件、结论之间的关联性,实现对数学解题整合性,启发学生的思路,引导学生找出隐含条件,建立解题过程。从另外一个角度分析,作图解题可以帮助学生解决数学问题,是中学数学教学中不容或缺的组成部分,可以有效整合数学基础知识、技能、方法,所以在教学中教师需要多角度分析,提高学生作图解题的技巧,提高教学质量与效率。

二、 中学数学作图解题技巧的条件

  (一)判断作图类别

  从整体角度分析,在中学数学学习当中,为解决不同的问题所采取的图像也有所不同,对此在看到题目时,教师需要告知学生做好图形类别判断。其中图形可分为辅助图与结果图,所谓的辅助图是不能直接呈现答案的一种图形,结果图则是指能够清晰展示答案的全部或者一部分的图形。在计算选择题或者填空题时,为缩短做题时间,可以选择辅助图加以解决,而在解决几何问题或者函数问题时,要以结果图为主。除此之外,在解题过程当中,还要根据图的准确程度划分为准确图与示意图,示意图是严格按照题目当中的信息进行抽象的展示,而准确图的是利用专业的画图工具进行作图,以此获得问题的答案。当然对于通常情况下的图像被称之为一般图,特殊情况下的图像被称之为特例图,无论哪一种图像均是作图解题当中需应用的一种。换而言之,中学数学内容包罗万象,所涉及的知识点不仅枯燥而且复杂,在学习不同内容时所采取的作图解题方法也有所不同,对此学生需要从宏观角度出发,对知识点有全面的认知,同时也要对作图解题有全面的理解,才能借助于作图的形式找到答案。

  (二)培养学生的作图意识

  积极培养学生的作图意识同样至关重要,在图形当中能够准确地将题目当中的数量关系、空间结构进行展现,促使抽象的问题具象化,复杂的知识简单化,对学生解决数学问题具有推动性。除此之外,培养学生看题作图的意识,能够促使学生结合数形结合思想解决实际的数学问题。

  从另外一个角度分析,中学数学当中有一部分内容是根据图形进行解题,比如像几何题或者函数题,另外一种题目并没有提及图形,但是要想获得准确的答案,则需借助于图形加以解决,获得答案。所以不论从哪一种角度分析,解题当中图形至关重要。积极提高学生的解题能力,培养学生的作图意识,能够起到事半功倍的作用。

  (三)提高学生的作图能力

  要想提高学生的作图能力,那么则需要从多个方面入手,做到以下四点。

  1. 对题目加以理解,保证理解准确性

  一般而言,在题目中会涉及隐含条件,且部分条件需要利用图形进行准确的呈现,如此才能获得正确的答案。

  比如:某学校举办竞走比赛,学生以每小时3千米的速度前进,在经过两个小时之后,校长骑车前往学生列队加以观看,校长的速度是每小时6千米,那么请问校长需要骑多久才能追上学生?

  在拿到这道习题的时候,教师需要引导学生对题目当中的已知条件与未知条件进行分析,并精确作图,还要引导学生进行想象与联想,这个时候学生会想到一次函数,因考虑到学生与校长骑车的对应时间、速度有所不同,以图像的形式找出两个函数的交汇点,进而获得正确的答案。

  当然,值得注意的一点,要想保证答案的准确性,那么需要提高图形的准确程度,对此学生在阅读题目之后,需要先将文字及时的转化成图形,而且要了解与观察这道题是选择题还是简答题,假如是选择题可以直接给出答案,假如是简答题,那么需要结合图形详细写出正确的解题思路。

  2. 实现思想画图的整合,保证作图的熟练

  根据对教学大纲的要求分析,可清楚了解到积极培养学生的画图能力是提高学生数学素养的关键所在。

  在新课改的发展背景下,培养学生画图能力也成为了教育的重点,画图是解题的一大技巧,在画图教学当中要想提高学生的熟练度,那么需采取多做题、多思考、多画图的方式,教师需要引导学生在拿到数学题目之后,以画图为主进行解答,在循序渐进当中提高学生的作图速度以及作图能力,使其掌握更多的作图方法。

  比如:某村庄需要修一口水井,为保证村民打水距离的相等,要求ABC三个地点的距离相等,那么应该如何修建水井的位置呢?

  当拿到这一习题之后,如果题目当中要求学生画图,学生需要做出准确图将ABC进行相连,然后在两条线上做中垂线,依据中垂线定理逆定理证明中垂线的交点便是最终水井修建的位置。

  从另外一个角度分析,提高学生作图能力的扎实性,能够有效满足教学的要求,但是需注意到的一点,并非所有的题目都需要画图即可解决,需经过学生在不断思考与研究当中针对性地进行画图,可得出正确的结论。

  比如:根据图1做出函数y=0.5x+1的图像,根据图像求:

  (1)当x=-1、0、1的时候,求y的数值。

  (2)当y=-1、2的时候,求x的数值。

  对于一次函数的学习,画图能够得到最直观的答案,并且学生通过画图也能够节省答题的时间,但是这一类型的图像往往会给学生提出更高的挑战与要求,对此学生需要准确掌握基本的理论知识,对公式、概念多加思考,如此才能准确作图,避免出现误差。

  3. 熟能生巧,联系图感度

  从理论上分析,所谓的图感是指学生对图形的形状位置加以判断,可以帮助学生能够快速获得正确的答案。

  比如:小明在洗衣服的时候选择利用洗衣机,洗衣机要经过四个流程,分别是注水、清洗、排水、脱水,洗衣机之中的水量是y,时间是x,请问下面的图像哪一个更符合这四个过程。

  解答这道题的时候,学生需要全面考虑这道题是对哪一知识点的考查,且在解题的时候不需要准确的数字运算,仅仅需要知道水量即可,因为在洗衣机里原本是没有水了,所以y值是0,伴随着时间的不断推移,清洗过程当中水量不变,时间不断推移,进而排水,然后伴随着水量不减少,由此可以获得正确的答案。

  4. 综合思考,保证作图的合理与完整

  毋庸置疑,作图是解决数学问题的关键所在,所采取的作图方式不同,那么解题效果也会有所不同,甚至还会出现不一样的答案,为避免这一问题的发生,在作图的时候需要确定题目要求的图形,寻找最合理的作图类型。除此之外,还要将题目当中有用的信息进行体现,严格按照题型进行作图,真正实现文字与图形的相互整合。当然,在几何与函数题当中,因为对图形的要求比较高,需要将其转化为数学问题,然后根据图形加以解答。

三、 数学作图解题的方法

  (一)明确解题思路,绘制图形

  在初中数学学习阶段,每一个领域都有相应的图形内容,比如数与代数当中会有数轴图与函数图,统计与概率当中会有统计图,空间与图形当中处处有图,所以初中数学教师在教学当中不仅要教会学生解题思路的灵活性,而且还要引导学生在明确解题思路的同时绘制图形,其中需要做到以下几点内容。

  1. 引导学生掌握解题的流程

  一般而言,在数学教学当中,教师要针对数学例题展开示范性讲解,为学生展示画图解决问题的重要性与方便性,这样在长时间的不断积累下,学生能够快速掌握解决问题的主要方法,而且也能了解画图的价值。对此,初中数学教师在教学当中要采取创新作图法,引导学生对其有所了解。比如在学习与三角形相关的问题时,部分学生理解能力比较差,学习水平比较低,教师可以借助彩笔等绘制图形。

  比如:在△ABC中,已知AB=AC,AD⊥BC于点D,那么图1中P是AB上任意一个点,请使用无刻度直尺在AC上寻找一点P1,使AP和AP1相等。

  其中在对这道习题进行解题的时候,需要先将CP相互连接,形成交点H,然后连接BH,将其延长到AC,相较于P1,由此则可以证明AP和AP1相等。(见下图)

  2. 帮助学生掌握解题的方法

  对于基础比较差的学生而言,在学习当中因无法掌握解题的步骤与技巧,导致数学成绩一塌糊涂,对此在数学教学当中,教师需要引导学生对解题的过程加以探索,并制定完善的解题方法,引导学生解决自己学习中所存在的一系列问题,寻找题目当中的隐藏条件,在不断剖析当中提高解题能力。除此之外,在教学当中教师还要结合例题,以图画演示的方式为学生讲解,不断训练,不断提高学生的作图水平以及解题水平,这样在日后遇到数学问题学生能够快速判断题目当中的已知条件与隐藏条件,并且提高画图的敏感性。此外,在看到习题后,学生首要考虑的是这道习题需不需要画图,不需要画图应该怎样解答,如果需要画图画哪一种图形,这样可以提高探索能力。同时,在学习一次函数的时候,如果不借助于图形无法寻找函数的交点,特别在解决最大值最小值时,学生会变得束手无措。对此,要通过画图的方式提高学生问题解决能力,加深学生印象。

  (二)树立良好的审题习惯

  在数学教学当中,数学教师需要遵循以人为本的基本原则,让学生养成良好的审题习惯。审题是解决数学的关键过程,也是寻找答案的过程,寻找解题思路的过程,所以需要对审题加以重视,通过审题可以掌握更多的条件,为解题提供方向,避免迷茫。另外在平常教学当中,教师需要有意识的引领学生对题目当中的已知条件、未知条件进行寻找,这样可以引导学生养成良好的习惯,对数学题加以充分掌握,提高后期的解题效率与质量。

  (三)借助于几何,直观推动学生的思维

  在数学操作活动当中作图是其中不容或缺的一部分,而操作则是思维的开始,通过作图的有效建构,能够引导学生的逻辑思维,帮助解决数学问题,且这一过程是自主探究的过程。在作图与分析当中属于交替进行,学生能够在理性与感性当中找到关键点与关联性,作出正确的图形,借助于几何直观形成猜想,在推理当中促进思维的发展,推动数学素养的培养。

  (四)给未知留有余地,做到可调可控

  一般而言,对于没有图的几何体而言,出题者的意图不仅是对某一知识点进行考察,而是对学生的思维以及素养加以探究与试探,而这恰恰是学生能力的体现,初中数学教师需要带领学生建立在思维分析之上的作图意识,要给未知留有余地,保证图形做到可调可控。除此之外,教师还要需要带领学生通过分析之后作图,先做出确定的部分,对于不确定的部分,可以采取不同的几何图形加以替代,包括射线、直线等,这一类图形都是可调控的图形,通过代替线段能够让几何图形动起来。

四、 结语

  总之,在新课改的深入贯彻下,数学教学当中要提高学生作图解题的能力,使其掌握基本的技巧,利用作图有效解决初中数学问题。作图的价值与优势比较明显,利用作图能够简化数学知识,将复杂的知识简单化,让学生更加直观且形象分析题目当中的已知与未知点。除此之外,在教学当中,教师需要从不同的角度出发,引导学生对知识加以分析,尤其要掌握基本的理论知识,对公式、概念加以掌握,做到熟能生巧,并且借助于作图进行举一反三,学以致用。教师要以身作则,在教学当中为学生讲解解决问题的诸多方法,必要的时候还需进行示范,增强学生的实践训练能力,提高数学教学的整体性。

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作者:严秀琴 单位:福建省南平市松溪第三中学

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