“留数的应用”课堂教学探讨与实践

2022-03-21版权声明我要投稿

  摘要:《复变函数》是很多高等院校工科专业以及数学专业的必修课,其中“留数的应用”这一节内容丰富,知识点难度大,在教学过程中如果安排不当很容易导致重点不突出,学生不理解等问题。因此本文针对这一部分内容设计了整个教学过程。首先采取“任务驱动法”提出问题,激起学生的好奇心与好胜心,然后采用启发式,讨论式等教学方法引导学生分组讨论,积极参与课堂教学,在学生讨论的基础上采用讲授法梳理整个知识体系,最后在传授专业知识的过程中融入课程思政,使专业知识和课程思政同向而行,同频共振,形成协同效应,从而实现以“立德树人”为教育根本任务的综合教育理念。

  关键词:复变函数;留数的应用;启发式教学;课程思政;

  复变函数是一门古老而又富有朝气的数学学科的分支,早在19世纪,Cauchy,Weierstrass及Riemann等数学大家就已经为这门学科奠定了坚实的理论基础。复变函数主要内容是讨论复数之间的相互依赖关系,解析函数是其主要研究对象。复变函数论作为一种强有力的工具被广泛应用于自然科学的众多领域,如理论物理、空气动力学、流体力学、自动控制学、信息工程、电子工程及通讯等领域。

  复变函数课程是很多高校工科专业的必修课。该课程内容丰富且抽象,学生普遍反映晦涩难懂,所以在课堂教学中如何设计教学使学生们能够积极主动参与课堂,形成师生互动,提高课堂教学效率是高校老师必须要考虑的一个重要课题。大多文献从大局观出发探讨了复变函数课程的教学改革与实践,但对于具体的章节内容的教学设计很少提及,实际上每一堂课的教学设计是一门课程教学的精髓所在。讲什么、怎么讲、怎么设计问题、如何讨论、如何调动学生的积极性,使学生更好地融入课堂等这些都是每堂课的教学设计重点。基于此,本文以“留数的应用”课堂教学为例,从“课堂设计”出发,积极探索和实践多种教学方法,并融入课程思政,实现专业课的知识教育和思想政治教育的融合,既教书又育人,在日常教学中对学生进行世界观、人生观和价值观教育。

1. 以问题为导向引入课题

  “留数的应用”这节内容的重点是利用留数定理求解三种类型的定积分,本文主要针对第一种类型的定积分∫02πR(cos t,sin t)dt的计算问题提出教学设计。这一部分主要采取任务驱动法,首先提出问题引导和维持学生的学习兴趣和动机,创建真实的教学环境,让学生带着具体的任务学习,使学生拥有学习的主动权。具体实施过程如下,上课伊始,首先提出三个定积分的计算问题:

  这三个定积分被积函数结构相同,其中前两个积分是第三个积分的特例,不过求积难度却不一样。其中第一个借助于正余弦平方和公式十分容易求出结果,第二个积分借助于万能公式以及较高超的数学技巧勉强可以做出来,但基本在一定的时间限制下几乎没有同学可以完成,第三个在实积分的框架下几乎不可能实现。在提出上述三个定积分的问题之后可以让学生探索出一个更为一般的积分问题:

  鼓励同学们进一步理解这类积分问题(1-4)的本质形式,积极探索这类问题的通用解法。同时也要提醒同学们问题(4)就是本节课要攻克的重点和难点,如果能够解决问题(4),那么就基本达成本节课的教学目标中的知识技能目标。

  这种由易到难,由浅入深,由个别到一般,层层递进设置问题的方式,不仅容易勾起学生的兴趣,更能激起学生的斗志。同时在求解过程中学生能够真切体会到使用传统方法求解这些定积分是几乎行不通的。此时便可以很自然的启发同学思考:既然在实积分的框架下采用传统的求解方法无法解决这类积分问题,那么是不是可以跳出实积分的框架,尝试把这些问题放到复积分的框架下进行解决呢?这样以“任务驱动”的教学设计使学生的学习不单是知识由外到内的转移和传递,更鼓励学生主动建构自己的知识经验,通过新经验和原有知识经验的相互作用,充实和丰富自身的知识、能力。

2. 应用多教学方法解决问题

  在提出问题(4)之后,采用启发探究式教学方法引导同学们去思考问题(4)的解决方案,鼓励同学们分组讨论,最后根据同学们的讨论情况梳理要点,归纳总结。具体教学设计分为以下4个部分。

  2.1 通过启发式教学引导学生

  首先引导学生复习定义在单位圆周上的复积分的计算过程:

  公式(5)就是利用Euler公式结合换元法将其转化为实部和虚部分别关于cost,sint的实函数在区间[0,2π]上的定积分。在复习旧知的过程中特别强调公式(5)到公式(6)转换的本质是把复积分转换为实积分,因此启发同学们逆向思考,问题(4)的实积分是否可以转换为复积分呢?如果可行,具体如何实现?

  2.2 通过讨论式教学引导学生积极主动解决问题

  通过上述启发和引导,学生对解决∫02πR(cost,sint)dt的计算问题应该有了初步思路,接下来就可以采取分组讨论的方式鼓励同学们进一步思考解决问题(4)的具体过程。为了同学们的思考更有条理,可以列出以下6个讨论要点:(1)cost,sint如何用复函数表示?(2)积分变量如何转换?(3)积分区域如何转换?(4)转换成复积分后,复积分的计算是否可以实现?(5)如果以上4步可以实现,给出具体实例验证方法。(6)归纳总结整个解题过程以及运用的数学思维。

  2.3 利用讲授法进一步梳理问题(4)的解决过程

  利用Euler公式

  可以得出:

  结合

  可把实积分转换为复积分,即

  公式(9)的主要作用就是把实积分转换成复积分,接下来利用留数定理计算复积分就可以了。最后给出具体实例进一步巩固和检验学生对这些知识的理解和掌握情况,依据学生的反馈可以适当地增加或删减例题。

  2.4 在教学过程中提炼和培养数学思维

  数学教学不仅是知识的传授,也是思维活动的教学,因此如何在教学过程中培养学生的思维能力,养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题。本节课的教学主要体现了两种数学思维:转化思维和逆向思维。

  转化思维是指在解决问题的过程中遇到障碍时,通过改变问题的方向,从不同的角度,把问题由一种形式转换成另一种形式,寻求最佳方法,使问题变得更简单、更清晰。在本节教学中把实函数转化为复函数,把实积分转换为复积分,即公式(7-9)均是转化思想的具体体现和应用。

  逆向思维也叫求异思维,它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式,敢于“反其道而行之”,让思维向对立面的方向发展,从问题的相反面深入地进行探索。本节教学中公式(7)的推导正是逆向思维的具体应用。

3. 传授知识的过程中融入课程思政

  3.1 在解决问题的过程中体会科学研究方法

  纵观问题(4)的整个解决过程,其本质就是把在实积分理论框架下无法解决的计算问题放到复积分的理论框架下,然后采用复积分的计算技巧就可以轻松解决。从这个解决问题的过程中可以启发学生去感受、体会:在科学研究中,往往会遇到一些困难,在现有的理论框架下无法解决,或者即使勉强解决,也可能由于要求的数学专业知识较多,解决形式较为繁琐而无法被广泛推广,同时这也和数学要求的简洁美相违背。那么不妨暂时避其锋芒,努力进一步扩大认知范围,拓宽自己的知识面,建立更大更广泛更具有包容性的理论框架,那么在新的理论框架下,这些问题可能就迎刃而解。

  3.2 在传授知识的过程中融入人生感悟

  教书、育人是教师的两大职责。作为一名教师,不仅要传递知识,还要帮助学生树立正确的人生观,价值观,世界观。问题(4)的解决过程蕴含了丰富人生哲理和为人处世之道。科学研究中会遇到困难,人生亦是如此。当我们遇到一些我们暂时无法解决的困难,可能在当时的境况中,这些困难似乎是我们人生中无法承受之重,这个时候不妨选择性遗忘,去开辟一些新的方向,其实熬过最困难的阶段,你会发现曾经那些难以承受之重也不过是人生长河中的一些浪花而已。毕竟“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”比“潮平两岸阔,风正一帆悬”更能给人巨大的成就感。

4. 结论

  本文主要探讨了留数的应用这部分内容的教学设计,但实际上这种以问题为驱动,采用启发式、探究式的教学方法具有一定的普适性,可以推而广之。这种教学设计,一方面可以让学生更好地融入课堂,充分调动学生的积极性和主动性,另一方面探究的过程中去思考,质疑,然后寻找到解决方案这一过程可以让学生收获到满满的成就感,而成就感正是主动学习的催化剂。文章的最后在德育教育中,注重价值引领,培养学生的思想内涵。

参考文献

  [1]申航,周航,刘汉龙弹性半无限空间中矩形孔收缩的复变函数解答[J].土木与环境工程学报(中英文)2021.02.

  [2]李烁,张俊锋.基于“翻转课堂”的工程复变函数与积分变换课程的教学探索[J].科技风2021(6):30-31.

  [3]周潘岳,何婧.《高等数学教学方法的探讨》[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2018,31(2):76-78.

作者:殷政伟 姚金然 向文 单位:长沙师范学院

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