高中数学思想在解题中的应用

2022-03-21版权声明我要投稿

  摘要:数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。高中数学涉及很多的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、整体思想等,用于解答数学习题,能够少走弯路,提高解题正确率。授课中应注重为学生逐一讲解这些数学思想,总结这些思想适用的数学题型。与此同时,针对不同的数学思想,与学生一起剖析经典的例题,以达到锻炼学生思维,提升其举一反三能力。

  关键词:高中;数学思想;解题;应用;例讲;

  高中数学习题类型复杂多变,解题的思路方法不尽相同,尤其在解题的过程中注重相关数学思想的应用,可获得事半功倍的解题效果。为提高学生对数学思想的重要性认识,自觉认真的学习、总结高中阶段相关的数学思想,并能具体问题具体分析,应注重为学生做好相关数学思想在解题中的应用示范。

一、函数与方程思想的应用例讲

  函数与方程是高中数学的重要知识点,两者有着千丝万缕的联系。解题的过程中通过函数与方程之间的灵活转换,可有效地突破相关习题。教学中应注重与学生一起总结函数与方程之间的契合点,使学生更好地把握两者之间转化的相关细节。如涉及方程、零点问题,可将方程拆分成两个常见函数,其中两个函数图象交点的横坐标为方程的根,函数图象交点个数为零点个数,为函数与方程思想的应用做好铺垫。不仅如此,授课中还应为学生系统的讲解高中阶段的常见函数,使其牢固掌握常见函数的相关性质、常见函数之间的联系,如指数函数图象和对数函数图象关于y=x对称,使学生能够根据题干创设的情境将方程迅速地拆分成相关函数,通过函数与方程思想的应用,进行函数与方程的转化,尽快地求出数学问题的正确结果。另外,为使学生明白如何运用函数与方程思想解题,使其在应用中少走弯路,应结合相关教学内容精心筛选相关习题,与学生一起剖析破题思路,详细的板书解题过程。如在讲解对数函数知识时,可讲解如下例题:

  已知实数a>1,实数x1满足方程ax=1x' role=presentation>ax=1xundefined,实数x2满足logax=1x' role=presentation>logax=1xundefined,则x1+4x2的取值范围为( )

  A.(4,+∞) B.[4,+∞)

  C.(5,+∞) D.[5,+∞)

  习题中涉及的函数为基本函数,借助函数与方程思想不难突破。∵x1、x2分别为方程ax=1x' role=presentation>ax=1xundefined、logax=1x' role=presentation>logax=1xundefined的根,∴x1、x2分别为函数y=ax、y=logax和y=1x' role=presentation>y=1xundefined图象交点的横坐标,设交点为A、B,∴01。由指数以及对数之间的关系可知,函数y=ax和y=logax的图象关于y=x对称,而y=1x' role=presentation>y=1xundefined的图象也关于y=x对称,∴A、B两点关于y=1x' role=presentation>y=1xundefined对称,设A(x1,1x1),B(x2,1x2),∴1x2=x1' role=presentation>A(x1,1x1),B(x2,1x2),∴1x2=x1undefined,即,x1x2=1,x1+4x2=x1+x2+3x2>2x1x2>2+3=5,∴x1+4x2' role=presentation style=position:relative>x1x2=1,x1+4x2=x1+x2+3x2>2x1x2−−−−√>2+3=5,∴x1+4x2undefined的取值范围为(5,+∞),选择C项。

二、数形结合思想的应用例讲

  数与形有着密切的联系,数与形之间转化的思想,即为数形结合思想。数形结合思想在高中数学中占有重要地位,不仅是日常教学工作的重要内容,而且是高考的热门考点。解题中应用数形结合思想能够更加直观地挖掘隐含条件,实现习题的顺利突破。高中数学授课中为确保学生能够在解题中正确的应用数形结合思想,在讲解相关知识时应注重从数与形两个角度给予学生启发,更好地提升其数形结合思想。如在讲解函数、不等式、向量、复数等知识时既要注重讲解“数”之间的规律,更好的锻炼学生的运算能力,又要注重从图形的角度分析相关知识,如在求解向量最值时将其转化为对应的图形,可有效地降低运算复杂度,提高解题正确率。不仅如此,为使学生能够正确的画出相关的图形,从图形中尽可能多地找到与解题相关的隐含知识,授课中应做好相关例题的讲解,尤其注重在课堂上与学生互动,帮助其更好的突破数形结合思想应用的难点,增强其运用数形结合思想解题的自信。如在讲解函数知识时向学生展示如下例题:

  已知函数,若存在实数x1,x2,满足0≤x1

  A.e2   B.e2-1   C.1-ln2   D.2-ln4' role=presentation style=position:relative>A.e2   B.e2−1   C.1−ln2   D.2−ln4undefined

  解答该题的关键在于正确的画出分段函数的图象,其中当学生不知道如何绘制y=ln2x(1x=12undefined、x=e2' role=presentation style=position:relative>x=e2undefined联系所学的对数函数知识进行画图。根据题意画出

  f(x)={x,0≤x≤1ln(2x),1f(x)={x,0≤x≤1ln(2x),1

  的图象,如图1所示:

  ∵存在实数x1,x2,满足0≤x1x2∈(1,e2],f(x1)=x1=f(x2)=ln(2x2)∴x1=ln(2x2),∴x2−x1=x2−ln(2x2)undefined,令g(x)=x-ln(2x),x(1,e2]' role=presentation style=position:relative>g(x)=x−ln(2x),x(1,e2]undefined,又∵g'(x)=x-1x,∴g(x)" role=presentation style=position:relative>∵g'(x)=x−1x,∴g(x)undefined在(1,e2]' role=presentation style=position:relative>(1,e2]undefined上单调递增,因此,g(x)max=g(e2)=e2-1' role=presentation style=position:relative>g(x)max=g(e2)=e2−1undefined。

三、分类讨论思想的应用例讲

  分类讨论思想是高中数学各类测试中的常考知识。根据分类讨论思想在解题中的应用情况可了解学生在考虑问题时是否全面、是否有条理。教学中可通过列举生活中的事例,使学生明白在分析数学问题时为何要进行分类讨论。当然不同的高中数学习题分类讨论的依据是不同的,教学中为使学生能够准确地掌握分类讨论的依据,应注重给予学生学习上的点拨,使学生明白何时进行分类讨论,怎样进行分类讨论。如可引导学生回顾所学的绝对值不等式、二次函数知识,使其认识到当无法准确地判断某一情况时,可将其分成若干可能,而后分别考虑各种可能。从中不难看出找到讨论的分界点是开展分类讨论活动的重中之重,决定着最终结果的正确与否。课堂上为使学生积累确定分类讨论界限的相关技巧,做到讨论的不重不漏,讲解例题时应由浅入深,逐步给予学生引导与启发,尤其专门给学生预留空白的时间,要求学生相互讨论,做好分类讨论思想应用的总结,通过与其他学生相互交流听课心得,更好地把握分类讨论的精髓。如课堂上为学生讲解如下例题后,要求学生总结、交流:

  已知函数f(x)=1-xex' role=presentation style=position:relative>f(x)=1−xexundefined,若对任意的x1,x2[a,+∞)均有f(x1)-f(x2)≥-1e2' role=presentation style=position:relative>f(x1)−f(x2)≥−1e2undefined成立,则实数a的最小值为( )

  A.0 B.1 C.2 D.e

  由题意可知f'(x)=x-2ex" role=presentation style=position:relative>f'(x)=x−2exundefined。当x<2时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减。当x>2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增。当x=2时,函数f(x)取得极小值-1e2' role=presentation style=position:relative>−1e2undefined。又∵当x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0;∵对任意的x1,x2∈[a,+∞)均有f(x1)-f(x2)≥-1e2' role=presentation style=position:relative>f(x1)−f(x2)≥−1e2undefined成立,∴令g(x)=f(x1)-f(x2),即,函数g(x)min≥-1e2' role=presentation style=position:relative>g(x)min≥−1e2undefined,即,f(x)min-f(x)max≥-1e2,∴-1e2-f(x)max≥-1e2,f(x)max≤0,∴a=1' role=presentation style=position:relative>f(x)min−f(x)max≥−1e2,∴−1e2−f(x)max≥−1e2,f(x)max≤0,∴a=1undefined,选择B项。

四、整体思想的应用例讲

  整体思想指在分析数学问题时将某个复杂的公式或某个部分看成一个整体加以处理,以达到更好地揭示其内在规律,简化计算的目的。整体思想在解题中的具体体现主要有设而不求、换元法等。授课中为使学生亲身体会整体思想在解题中的便利,把握运用整体思想解题的关键,应注重结合自身教学实践,做好相关例题的筛选与精讲,尤其注重紧跟例题的讲解组织学生开展针对性的训练活动,使其趁热打铁,进一步加深其对整体思想的印象与理解,明白何时运用整体思想,怎样运用整体思想。如在解决圆锥曲线相关习题时,运用整体思想,借助根与系数之间的关系,可避免复杂的运算。如下题:

  已知抛物线y2=4x的焦点为F,A、B在抛物线上,且△ABF的重心坐标为(12,13)' role=presentation style=position:relative>(12,13)undefined,则||FA|-|FB|||AB|' role=presentation style=position:relative>||FA|−|FB|||AB|undefined的值为( )

  A.14   B.12   C.55   D.1717' role=presentation style=position:relative>A.14   B.12   C.5√5   D.17√17undefined

  根据题意可知F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),由三角形的重心坐标可知x1+x2+13=12,y1+y2+03=13' role=presentation style=position:relative>x1+x2+13=12,y1+y2+03=13undefined,则x1+x2=12,y1+y2=1' role=presentation style=position:relative>x1+x2=12,y1+y2=1undefined。当直线AB的斜率不存在时,△ABF的重心在x轴上不符合题意。当直线AB的斜率存在且不为零时,设直线AB的方程为y=kx+b,将其和抛物线方程联立整理得到:y2-4ky+4bk=0,∴y1+y2=4k=1' role=presentation style=position:relative>y2−4ky+4bk=0,∴y1+y2=4k=1undefined,即,k=4。设x1>x2,过点A、B分别向抛物线的准线作垂线,垂直分别为A'、B',过点B作BM⊥AA',垂足为M。||FA|-|FB|||AB|=||AA'|-|BB'|||AB|=|AΜ||AB|=cosA'AB" role=presentation style=position:relative>||FA|−|FB|||AB|=||AA'|−|BB'|||AB|=|AM||AB|=cosA'ABundefined,由几何知识可知直线AB的倾斜角为α,则∠A'AB=α,∵tanα=4,0<α<π,∴cosα=1717" role=presentation style=position:relative>∠A'AB=α,∵tanα=4,0<α<π,∴cosα=17√17undefined,选择D项。

五、总结

  授课中为使学生牢固掌握高中阶段的常见数学思想,并实现在解题中灵活应用的目标,应要求学生做好听课总结,对例题分门别类,掌握不同题型的出题规律以及解题中应用的数学思想,反思在听课中暴露出的学习中的不足,要求其结合自身的学习实际,在课下通过筛选相关的习题加以针对性的训练,真正的把握相关数学思想的精髓,能够在解题中以不变应万变。

参考文献

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作者:张玮萍 单位:甘肃省庆阳第一中学

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